No.026 楕円の面積はどうやって求める?

タングステンさんの疑問
 さまざまな図形の面積の求め方は、小学算数や中学数学で習います。
 小学算数の知識だけ使っても、多角形の面積は求められます。
 また、円の面積も小学校の知識で求められます。
 中学数学では、円の面積は、S=πr2のように文字を使った公式を習います。
 しかし、いくら中学数学でも「楕円」の面積は求めれません。
 一体どうやって求めるのでしょうか?

フレッシュワーズの回答
 楕円とは、簡単に言うと「つぶれた円」ですね。
 難しい言い方をすると「一平面上で2定点(F,F')からの距離の和(FP+F'P)が一定であるような点Pの軌跡

 

 難しい言い方を解説すると・・・。
 F'からPまで、PからFまで線をつなぎます。
 それが赤線です。そして、この赤線の長さと同じになるところに点Pを置くと、
 青線のような場合もできます。
 そして、このように点Pを置きまくると、一つの線になります。
 これが楕円です。

 では、面積はどうやって求めるか?
 また、上の図を見てください。
 aが短い軸(短軸)の半径ですね。そして、bは長い軸(長軸)の半径です。

 そして、楕円の公式は「S=πab」です。
 小学算数の言い方をすると・・・。
 「楕円の面積=楕円の短い方の軸の半径×楕円の長い方の軸の半径×円周率
 なんと、円の面積の公式とほとんど同じなんです!!
 ていうか、実は円は、たまたま運良く(?) aとbが同じになった楕円なのです。

 ちなみに楕円の円周はどうやって求めるのか?
 これは難しいです・・・。楕円積分やベクトル解析の知識がいるみたいです。
 しかも、楕円の面積は高校で習いますが、円周は高校でも習いません。
 というわけで円周は難しすぎて自分には回答できませんが、
 円周に、ほぼ等しい値(近似値)を求めることならできます。
 公式は「π×√(2(a2+b2))-(a-b)2/2.2」です。
 小学算数の言い方をすると・・・。
 @「楕円の短い方の軸の半径×楕円の短い方の軸の半径
 A「楕円の長い方の軸の半径×楕円の長い方の軸の半径
 B「@とAを足して、2倍する
 C「Bの平方根(ルート)×円周率
 D「楕円の短い方の軸の半径-楕円の長い方の軸の半径
 E「D×Dをして、2.2で割る
 F「B-E
 これが楕円周の近似値を出す公式。 

since 2003/6/25

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