No.026 楕円の面積はどうやって求める?
●タングステンさんの疑問
さまざまな図形の面積の求め方は、小学算数や中学数学で習います。
小学算数の知識だけ使っても、多角形の面積は求められます。
また、円の面積も小学校の知識で求められます。
中学数学では、円の面積は、S=πr2のように文字を使った公式を習います。
しかし、いくら中学数学でも「楕円」の面積は求めれません。
一体どうやって求めるのでしょうか?
●フレッシュワーズの回答
楕円とは、簡単に言うと「つぶれた円」ですね。
難しい言い方をすると「一平面上で2定点(F,F')からの距離の和(FP+F'P)が一定であるような点Pの軌跡」
難しい言い方を解説すると・・・。
F'からPまで、PからFまで線をつなぎます。
それが赤線です。そして、この赤線の長さと同じになるところに点Pを置くと、
青線のような場合もできます。
そして、このように点Pを置きまくると、一つの線になります。
これが楕円です。
では、面積はどうやって求めるか?
また、上の図を見てください。
aが短い軸(短軸)の半径ですね。そして、bは長い軸(長軸)の半径です。
そして、楕円の公式は「S=πab」です。
小学算数の言い方をすると・・・。
「楕円の面積=楕円の短い方の軸の半径×楕円の長い方の軸の半径×円周率」
なんと、円の面積の公式とほとんど同じなんです!!
ていうか、実は円は、たまたま運良く(?) aとbが同じになった楕円なのです。
ちなみに楕円の円周はどうやって求めるのか?
これは難しいです・・・。楕円積分やベクトル解析の知識がいるみたいです。
しかも、楕円の面積は高校で習いますが、円周は高校でも習いません。
というわけで円周は難しすぎて自分には回答できませんが、
円周に、ほぼ等しい値(近似値)を求めることならできます。
公式は「π×√(2(a2+b2))-(a-b)2/2.2」です。
小学算数の言い方をすると・・・。
@「楕円の短い方の軸の半径×楕円の短い方の軸の半径」
A「楕円の長い方の軸の半径×楕円の長い方の軸の半径」
B「@とAを足して、2倍する」
C「Bの平方根(ルート)×円周率」
D「楕円の短い方の軸の半径-楕円の長い方の軸の半径」
E「D×Dをして、2.2で割る」
F「B-E」
これが楕円周の近似値を出す公式。
since 2003/6/25